ACTIONS MECANIQUES…ce qu’il faut savoir

Cas d’un contact surfacique avec frottement (lois de Coulomb)

Toute cause susceptible de maintenir un système matériel au repos, de créer ou de modifier un mouvement, de déformer un solide, est appelée action mécanique.

On distinguera deux types d’action mécanique :

Les actions à distance (d’origine gravitationnelle par exemple)

Les actions de contact.

D’autre part, il convient de distinguer les actions intérieures et extérieures à un ensemble matériel.

Prenons le cas d’un système constitué de trois corps S₁, S₂, S₃ en contact.

Si nous considérons maintenant l’ensemble E={S₁,S₂}, on dira que l’action de S₃ sur S₂ est une action extérieure à E et l’action S₁ sur S₂ est une action intérieure à E.

Modélisation des actions mécaniques

La modélisation des actions mécaniques est dépendante du point de vue adoptée. En effet nous pourrons définir un modèle local qui a pour but d’analyser l’action dans la zone où elle s’exerce. De la même façon nous définirons un modèle global qui permettra de caractériser l’action globalement dans un but précis comme l’application du principe fondamental.

Ainsi nous trouverons des actions concentrées en un point, réparties avec densité linéique, surfacique ou volumique ou encore massique. Il s’agit ici de donner la description locale de l’action mécanique .

On dira qu’une courbe ou une arête est soumise à une répartition linéique de forces si on peut définir en chacun de ses points P une densité linéique de telle sorte que sur un élément infinitésimal de cette courbe contenant P s’exerce la force .

De la même manière une surface est soumise à une répartition surfacique de forces si on peut définir en chacun de ses points P une densité surfacique de telle sorte que sur un élément infinitésimal de cette surface contenant P s’exerce la force .

Un volume est soumis à une répartition volumique de forces si on peut définir en chacun de ses points P une densité volumique de telle sorte que sur un élément infinitésimal de ce volume contenant P s’exerce la force .

Enfin un volume est soumis à une répartition massique de forces si on peut définir en chacun de ses points P une densité massique de telle sorte que sur un élément massique infinitésimal de ce volume contenant P s’exerce la force .

Exemple de l’action de la pesanteur : chaque particule d’un solide par exemple est soumise à l’action de la pesanteur : c’est une action répartie avec densité massique. Soit P une particule de masse infinitésimal , la densité massique correspondant à est l’accélération de la pesanteur et la force appliquée à la particule vaut .

Si nous souhaitons connaître l’action mécanique encaissée par tout le solide sous l’effet de la pesanteur, nous devons changer de point de vue et adopter un modèle global caractérisé par un torseur.

Soit M le centre de réduction de chacun des torseurs. Nous aurons donc :

Dans le cas d’une force concentrée en P : [haut de page]

Dans le cas d’une répartition linéique :

Dans le cas d’une répartition surfacique :

Dans le cas d’une répartition volumique :

Dans le cas d’une répartition massique :

Si nous reprenons l’exemple précédent et que nous voulons caractériser l’action mécanique exercée par l’action de la pesanteur sur tout le solide on aura :

si nous considérons que le champ gravitationnel est constant nous aurons :

Le point particulier pour lequel le moment est nul est le centre de gravité G.

On a alors :

Cas particulier d’un contact surfacique avec frottement. Enoncé des lois de Coulomb.

Considérons deux solides S₁ et S₂ en contact suivant une surface. Notons (P) le plan tangent commun aux deux solides en un point P. Soit la densité surfacique en P.

Posons :

avec perpendiculaire à (P) et dans le plan (P).

· est appelé densité surfacique normale, ou pression de contact, au point P.

· est appelé densité surfacique tangentielle au point P.

Soit la vitesse de glissement au point P de S₂ par rapport à S₁.

Premier cas : on a donc glissement de S₂ par rapport à S₁

La densité surfacique tangentielle s’oppose à la vitesse de glissement. Ce qui se traduit par :

Aussi il existe une relation entre les densités normale et tangentielle :

où est le coefficient de frottement en P entre S₁ et S₂.

Les trois relations précédentes constituent les lois de Coulomb.

En posant , une interprétation géométrique de cette dernière relation est possible : se trouve sur un cône (cône de frottement) de demi angle au sommet (angle de frottement)

Deuxième cas : on a donc adhérence de S2 par rapport à S1

Dans ce cas se trouve à l’intérieur du cône de frottement. La relation entre les densités normale et tangentielle n’est plus connue.

Nous avons :

Hypothèses de calcul [haut de page]

Pour la résolution de nos problèmes nous serons amenés à formuler des hypothèses sur le contact :

· Le coefficient de frottement est nul : alors est normale au plan tangent commun aux deux solides en contact.

· On se place à la limite du glissement : alors est sur le cône de frottement.